Ejemplo en el sistema de numeración decimal
Si contamos desde 0, incrementando una
unidad cada vez, al llegar a 9 unidades, hemos agotado los símbolos disponibles, y si
queremos seguir contando no disponemos de un nuevo símbolo para representar la
cantidad que hemos contado.
Por tanto añadimos una nueva columna a la izquierda del número, reutilizamos los símbolos de que disponemos,
decimos que tenemos una unidad de segundo orden (decena), ponemos a cero las unidades, y seguimos contando.
De igual forma, cuando contamos hasta
99, hemos agotado los símbolos disponibles para las dos
columnas; por tanto si contamos (sumamos) una unidad más, debemos poner a cero
la columna de la derecha y sumar 1 a la de la izquierda (decenas).
Pero la columna de la izquierda ya ha agotado los símbolos disponibles, así que la
ponemos a cero, y sumamos 1 a la siguiente columna (centena). Como resultado
nos queda que 99+1=100.
El cuentakilómetros mecánico, al
utilizar el sistema de numeración posicional decimal, nos muestra lo anterior:
va sumando 1 a la columna de la derecha y cuando la rueda de esa columna ha
completado una vuelta (se agotan los símbolos), se pone a cero y se añade una unidad a la siguiente
columna de la izquierda.
Pero estamos tan habituados a contar
usando el sistema decimal que no somos conscientes de este comportamiento, y
damos por hecho que 99+1=100, sin pararnos a pensar en el significado que
encierra esa expresión.
Tal es la costumbre de calcular en
decimal que la mayoría de la población ni siquiera se imagina que puedan
existir otros sistemas de numeración diferentes al de base 10, y tan válidos y útiles como este. Entre esos
sistemas se encuentran el de base 2 sistema binario, de base
8 sistemas octal y el de
base 16 sistema hexadecimal. También
los antiguos mayas tuvieron un sistema de numeración posicional
el cual ya no se usa.
Ejemplo en el sistema decimal
En el sistema decimal los símbolos válidos para construir números son {0,1,...9} (0 hasta 9, ambos incluidos), por tanto la base
(el número de símbolos válidos en el sistema) es diez
En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema decimal
Los dígitos a la izquierda de la coma fraccionaria representados por dn ... d2 d1 d0 , toman el valor correspondiente a las potencias positivas de la base
(10 en el sistema decimal), en función de la
posición que ocupan en el número, y representan respectivamente al dígito de las n-unidades (10n), centenas (10²=100), decenas (10¹=10) y unidades (100=1),
ya que como se ve en el gráfico están colocados
en las posiciones n..., tercera, segunda y primera a la izquierda de la coma fraccionaria.
Los dígitos a la derecha de la coma fraccionaria d-1, d-2, d-3 ... d-n representan respectivamente al dígito de las
décimas (10-1=0,1), centésimas (10-2=0,01), milésimas (10-3=0,001) y n-ésimas (10-n) .
Por ejemplo, el número 1492,36 en decimal, puede expresarse como: 1492/36
Ejemplo en el sistema decimal
En el sistema decimal los símbolos
válidos para construir números son {0,1,...9} (0 hasta 9, ambos incluidos), por
tanto la base (el número de símbolos válidos en el sistema) es diez
En la figura inferior podemos ver el
teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema
decimal.
Los dígitos a la izquierda de la coma
fraccionaria representados por dn ... d2 d1 d0 , toman el valor correspondiente a
las potencias positivas de la base (10 en el sistema decimal),
en función de la posición que ocupan en
el número, y representan respectivamente al dígito de las n-unidades (10n), centenas (10²=100), decenas (10¹=10) y
unidades (100=1),
ya
que como se ve en el gráfico están
colocados en las posiciones n..., tercera, segunda y primera a la
izquierda de la coma fraccionaria.
Los dígitos a la derecha de la coma
fraccionaria d-1, d-2, d-3 ... d-n representan respectivamente al
dígito de las décimas (10-1=0,1),
centésimas (10-2=0,01),
milésimas (10-3=0,001)
y n-ésimas (10-n)
.
Por ejemplo, el número 1492,36 en
decimal, puede expresarse como: 1492/36
Ejemplo en el sistema binario
Véase ahora el sistema
binario o
de base 2. En este sistema los dígitos válidos son {0,1}, y dos unidades forman
una unidad de orden superior.
En la figura inferior puede verse el
teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema
binario.
Siguiendo con el ejemplo del
cuentakilómetros visto arriba, en este caso las ruedas no tienen 10 símbolos (0
al 9) como en el caso del sistema decimal.
En el sistema binario la base es 2, lo
que quiere decir que sólo existen 2 símbolos {0,1} para construir todos los números binarios.
En el sistema binario, para representar
cifras mayores que 1 se combinan los 2 símbolos {0,1} y agrega una segunda
columna de un orden superior.
Aquí las ruedas del cuentakilómetros dan
una vuelta cada dos unidades. Por tanto, una vez que se cuenta (suma) dos se
han agotado los símbolos disponibles
para esa columna, y se deben poner a cero la columna y usar otra columna a la
izquierda.
Así, contando en binario, tras el
número viene el , pero si se cuenta una unidad más se debe
usar otra columna, resultando
Se sigue contando , , , . Al añadir
una unidad a la columna de las unidades, esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los símbolos
disponibles), y se debe formar
una unidad de segundo orden, pero como ya
hay una, también se agotan los símbolos disponibles para esa columna, y se
deben formar una unidad de tercer orden o .
Así, en el sistema binario
Ejemplos:
El número está formado por un
solo símbolo repetido tres veces. No obstante, cada uno de esos símbolos tiene
un valor diferente, que depende de la posición que ocupa
en el número. Así, el primer 1 (empezando
por la izquierda) representa un valor de , el segundo de
y el tercero de , dando como resultado el valor del número: .
EN SISTEMA BINARIO
Ejemplo
Transformar el número decimal 100 en
binario.
Otra forma de conversión consiste en un
método parecido a la factorización en números primos. Es relativamente fácil dividir
cualquier número entre 2.
Este método consiste también en
divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar, colocaremos
un cero o un uno en la columna de la derecha.
Si
es impar, le restaremos uno y seguiremos dividiendo entre dos, hasta llegar a
1. Después sólo nos queda tomar el último resultado de la columna izquierda
(que siempre será 1) y todos los de la
columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo a arriba.
Ejemplo
100|0 50|0 25|1 --> 1, 25-1=24 y seguimos dividiendo
entre 2 12|0 6|0 3|1
1|1 -->
Existe un último método denominado de
distribución. Consiste en distribuir los unos necesarios entre las potencias
sucesivas de 2 de modo que su suma resulte
ser el número decimal a convertir. Sea
por ejemplo el número 151, para el que se necesitarán las 8 primeras potencias
de 2, ya que la siguiente, 28=256,
es superior
al
número a convertir. Se comienza poniendo un 1 en 128, por lo que aún faltarán
23, 151-128 = 23, para llegar al 151. Este valor se conseguirá distribuyendo
unos
entre las potencias cuya suma dé el
resultado buscado y poniendo ceros en el resto. En el ejemplo resultan ser las
potencias 4, 2, 1 y 0, esto es, 16, 4, 2 y 1, respectivamente.
Ejemplo
20=
1|0 21=
2|0 22=
4|0 23=
8|0 24=
16|0 25=
32|0 26=
64|0 27= 128|1
